EVAP1

                                                              Números complejo

Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado1 . El conjunto de los números complejos se designa con la notación , siendo   el conjunto de los números reales se cumple que   ( está estrictamente contenido en  ). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilitación de cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

Definición
Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como parte real de z, se denota ; 
el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z, se denota :
Luego en el conjunto ℂ de los números complejos, se definen tres operaciones y la relación de igualdad

Suma


Producto por escalar

 
Multiplicación


Igualdad


A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:
Resta


División


Al númerose denomina número complejo real y como entre el conjunto de estos y el conjunto ℝ de los números reales se establece un isomorfismo, se asume que todo número real es un número complejo. Al número complejose denomina número imaginario puro. Puesto que   se dice queun número complejo es la suma de un número real con un número imaginario puro.

Unidad imaginaria

Se define un número complejo especial, sobre todo en el álgebra, de suma relevancia, el número i (j en física), llamado unidad imaginaria, definido como

Que satisface la siguiente igualdad:

De donde resulta:

Tomando en cuenta que

 Cabe la identificación

Aplicaciones
En matemáticas
Soluciones de ecuaciones polinómicas
Un raíz o cero del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todas las ecuaciones polinómicas (algebraicas) de grado n tienen exactamente n soluciones en el cuerpo de los números complejos, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. También se cumple que si z es una raíz entonces su conjugado también es una raíz del polinomio p. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado; por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales[cita requerida] que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.
Variable compleja o análisis complejo
Artículo principal: Análisis complejo
Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramienta de matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar. Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o animaciones en 3D para representar las cuatro.
Ecuaciones diferenciales
En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero las raíces (en general complejas)del polinomio característico, lo que permite expresar la solución general del sistema en términos de funciones de base de la forma:  .

En física
Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo podemos pensar en   como la amplitud y en   como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma   donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.
El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ).
En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.








Ejercicio en c ++

# include <iostream>
# include <stdlib.h>
using namespace std ;

void sumaDeComplejos ( int , int , int , int , int & , int & ) ;

int main ()
{
int parteReal [ 3 ] ;
int parteIma [ 3 ] ;
int resulReal ;
int resulIma ;
char * numeros [] = { "Primer" , "Segundo" , "Tercer" } ;

cout << "\n\t ============================================= " ;
cout << "\n\t\t\t SUMA DE COMPLEJOS " ;
cout << "\n\t =============================================\n\n " ;

for ( int i = 0 ; i < 3 ; i ++ )
{
cout << "\n ------------------------------------------------------ " ;
cout << "\n Parte Real del " << numeros [ i ] << " Numero : " ;
cin >> parteReal [ i ] ;
cout << "\n Parte Imaginaria del " << numeros [ i ] << " Numero : " ;
cin >> parteIma [ i ] ;
}
cout << "\n ------------------------------------------------------ " ;

/* como la funcion solo suma dos numeros complejos
primero sumamos lo dos numeros */

sumaDeComplejos ( parteReal [ 0 ] , parteIma [ 0 ] , parteReal [ 1 ] , parteIma [ 1 ] , resulReal , resulIma ) ;

/* ahora sumamos el resultado con el ultimo numero complejo */
sumaDeComplejos ( resulReal , resulIma , parteReal [ 2 ] , parteIma [ 2 ] , resulReal , resulIma ) ;

cout << "\n ------------------------------------------------------ " ;
cout << "\n Resultado Parte Real : " << resulReal ;
cout << "\n Resultado Parte Imaginaria : " << resulIma ;
cout << "\n ------------------------------------------------------ " ;


cout << "\n\n\n" ;
system ( "pause" ) ;
return 0 ;
}

void sumaDeComplejos ( int real1 , int ima1 , int real2 , int ima2 , int & rReal , int & rIma )
{
rReal = real1 + real2 ;
rIma = ima1 + ima2 ;

}